По сути, функция — это правило соответствия которое присваивает каждому элементу из множества входных данных (называемого областью определения) точно один элемент из множества выходных данных (называемого областью значений). Эта детерминированная зависимость служит фундаментальным блоком математического моделирования, позволяя описать, как поведение одной переменной строго определяется другой.
Рассмотрим модель концентрации соли: если мы подаем соленую воду в резервуар с чистой водой, то концентрация $C(t)$ является функцией времени $t$. Для каждого выбранного момента времени существует только одно возможное значение концентрации. Это правило «один вход — один выход» лежит в основе исчисления.
Определение функции
Функция $f$ — это правило, которое каждому элементу $x$ из множества $D$ ставит в соответствие ровно один элемент, называемый $f(x)$, из множества $E$. Мы представляем это алгебраически через формулы, такие как:
- $y = mx + b$ (линейная)
- $f(x) = \sqrt{x}$ (корневая)
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ (множественно-теоретическое определение)
Функция — это не просто формула; она может быть определена таблицей значений (так называемая табличная функция) или даже просто множеством упорядоченных пар.
Тест вертикальной линии (VLT): Кривая на плоскости $xy$ представляет функцию от $x$, если и только если вертикальная линия пересекает кривую не более одного раза. Это гарантирует выполнение требования «один выход».
Практическая оценка: разностное отношение
Чтобы измерить изменение в этих отношениях, мы часто оцениваем выражение $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Пусть $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Чтобы вычислить разностное отношение:
- Подставьте $(a+h)$ в $f$: $f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- Раскройте скобки: $2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- Вычтите $f(a)$: $(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- Разделите на $h$: $\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$.